№task-number1task-section.task-number.Найдите общее количество генераторов аддитивной циклической группы $\mathbb{Z}_{33}$ с операцией в виде сложения чисел по модулю 33 и перечислите их.
№task-number1task-section.task-number.Вычислить в поле Галуа $GF\left( {2^{5} } \right)$, $m\left( x \right) = x^{5} + x^{3} + x^{2} + x + 1$, следующее значение: $28 \times 29 + 23^2$. Многочлены заданы как десятичное представление двоичных коэффициентов, свободный член многочлена соответствует младшему биту двоичного представления. В ответе привести в десятичном представлении результаты умножения, возведения в степень и сложения.
$result\left( x \right) = x^{2} + x + 1 \Rightarrow result = "7"$.
Ответ: «27»; «28»; «7».
№task-number1task-section.task-number.Вычислить в поле Галуа $GF\left( 27 \right)$, $m\left( x \right) = x^{3} + x^{2} + x + 2$, следующее значение: $26 \times 11 + 25^2$. Многочлены заданы как десятичное представление троичных коэффициентов, свободный член многочлена соответствует младшему триту троичного представления. В ответе привести в десятичном представлении результаты умножения, возведения в степень и сложения.
Решение:
1pt 0pt 0pt
$a = "26" \Rightarrow a\left( x \right) = 2 x^{2} + 2 x + 2$;
$c = "25" \Rightarrow c\left( x \right) = 2 x^{2} + 2 x + 1$;
$a \left( x \right) \times b \left( x \right) = x^{2} + 1 \Rightarrow a \times b = "10"$;
$c ^2\left( x \right) = x + 2 \Rightarrow c^2 = "5"$;
$result\left( x \right) = x^{2} + x \Rightarrow result = "12"$.
Ответ: «10»; «5»; «12».
№task-number1task-section.task-number.Используя алгоритм быстрого возведения в степень (с помощью разложения показателя степени по степеням двойки по схеме «слева направо»), вычислить ${175}^{235} \mod {257}$.
Решение:
1pt 0pt 0pt
двоичная форма записи степени: $235_{10} = 11101011_{2}$;
полное выражение для вычисления: $(((((((1 \times {175}^1)^2 \times {175}^1)^2 \times {175}^1)^2 \times {175}^0)^2 \times {175}^1)^2 \times {175}^0)^2 \times {175}^1)^2 \times {175}^1\mod 257$;